前言

笔者最近在进行一项研究课题，将涉及到数学公式以及理解整理在这。

散度相关

定义

在黎曼流形上，散度衡量的是“向量场在某一点的源或汇的强度”。在局部坐标 $z^i$ 下，设向量场 $V = V^i \partial_i$，体积元系数 $\omega = \sqrt{\det g}$，它的计算公式是： \(\operatorname{div}_g V = \frac{1}{\omega} \sum_i \frac{\partial (\omega V^i)}{\partial z^i}\) (注：图中的 $\mathrm{dvol}_g$ 其实就是 $\omega \mathrm{d}z^1 \dots \mathrm{d}z^n$)。

运算法则：2个乘积法则

算导数必须用到乘积法则，对于散度，最常用的是下面两个：

1. 标量 $\times$ 向量： \(\operatorname{div}_g(\varphi V) = \varphi \operatorname{div}_g V + g(\operatorname{grad}_g \varphi, V)\) 2. 散度对向量场是线性的： \(\operatorname{div}_g(A + B) = \operatorname{div}_g A + \operatorname{div}_g B\)

散度定理

微积分基本定理在流形上的推广，把区域内的散度积分，变成边界上的通量： \(\int_{\mathcal{M}} \operatorname{div}_g V \, \mathrm{dvol}_g = \int_{\partial \mathcal{M}} g(V, n) \, \mathrm{dS}_g\) 如果假设流形 $\mathcal{M}$ 是紧致且无边界，右边直接为 0。

• 无边界假设在 flow matching 建模中是常见的

由这个定理，可以导出 $\textcolor{red}{变分法中最常用的分部积分公式}$： 结合前面的“乘积法则”，把 $\varphi V$ 作为一个整体代入散度定理，移项后得到： \(\int_{\mathcal{M}} \varphi \operatorname{div}_g V \, \mathrm{dvol}_g = - \int_{\mathcal{M}} g(\operatorname{grad}_g \varphi, V) \, \mathrm{dvol}_g\) 记忆：把 $\operatorname{div}$ 上的导数“转移”给前面的标量 $\varphi$，变成 $\operatorname{grad}$，并且记得加负号！

物理方程：2个关键PDE

你现在研究的最优传输问题，其实就是在解这两个方程：

1. 连续性方程（质量守恒）： \(\partial_t p_t + \operatorname{div}_g(p_t u) = 0\) 理解：密度随时间的变化率，等于向外流出的流量的散度。

2. 加权 Poisson 方程（势函数的来源）： \(-\operatorname{div}_g(p_t \operatorname{grad}_g \varphi) = \partial_t p_t\) 理解：把连续性方程里的 $u$ 替换为 $\operatorname{grad}_g \varphi$，移项加负号。