前言
笔者最近在进行一项研究课题，涉及到群论；因此将近期学习的群论知识整理到这。
知识来源：
- 课程: 蔷薇科的普朗克视频专辑-蔷薇科的普朗克视频合集-哔哩哔哩视频
- 自学书籍:《群论彩图版》
Tips: 仅涉及非常浅薄的群论内容，适合像笔者一样非物理专业出身者参考借鉴。
什么是群
群是用来刻画存在于大千世界中对称性的 “显微镜”；因此要想了解什么是群，首先需要了解，什么是对称。
当你对一个对象(它可以是平面或立体的) 进行$\textcolor{red}{某些特定操作}$ (旋转、翻转、平移)后，它$\textcolor{red}{看起来}$还能和操作之前一样，那么就说它是对称的。
考虑到 “有多个对称轴的图形，一定具有面内的旋转对称性；反过来，具有面内的旋转对称性的图形，不一定有对称轴”。
所以，面内旋转操作要比包含了轴对称的情况更基础，我们暂时聚焦在面内的对称操作，即：不动 $\textcolor{red}{(恒等元)}$、顺时针旋转120° 和 顺时针旋转 240°。我们将上述三个对称操作分别形式化为 $e, d, f$.
由于一次对称操作下，看起来和操作之前一样；自然我们就考虑：两次甚至多次操作之后呢？答案是清晰的——依旧和操作前一样。而这里，多次操作自然就需要我们定义出所谓的 “乘法”；而由此可以得到乘法表：
| $e$ | $d$ | $f$ | |
|---|---|---|---|
| $e$ | $e$ | $d$ | $f$ |
| $d$ | $d$ | $f$ | $e$ |
| $f$ | $f$ | $e$ | $d$ |
这里的 “乘法” 和数乘不是一个含义；可以以矩阵乘法来辅助理解，对目标 (矩阵就是对空间) 进行操作 (矩阵就是拉伸、平移及旋转)。
事实上，矩阵乘法正是一种特殊的，研究线性变换的群。
观察乘法表，有：
- 封闭性：乘法表中元素均在操作集合 ${e,d,f}$ 中。
- 存在逆元素：如乘法表中，操作 $d\cdot f = e, f\cdot d = e$.
由于逆元素依赖于结合律的存在，因此为了 “无争议” 的明确逆元素存在，引入结合律。
举个例子：$2, -2$ 在算数减法中是否互逆？
综上，群的概念已经定义清楚了！
一个群必然对应着一种对称性；一种对称性必然能够找到一个群来描述
相关符号定义与概念
下述表格，笔者特意组织为 “含义 $\to$ 概念/命名 $\to$ 符号”，较为符合 “将 {含义} 称为 {概念}，形式化为 {符号}” 的理解链。
| 含义 | 概念 | 符号 |
|---|---|---|
| 群的操作集合 | 群空间 | $G$ |
| 操作集合中元素个数 | 群的阶 | $\lvert G\rvert$ |
| - | 恒等元 | $e$ |
| - | 逆元素 | $(\cdot)^{-1}$ |
| - | 元素的阶 | $(\cdot)^{阶}=e$ |
| 原群的子集 | 子群 | $H\subseteq G$ |
| 与同一元素构成的左右旁集相同的子群 | 正规子群 | $H \triangleleft G$ |
有限群的性质
必然存在循环子群
有限群中任何元素的阶都是有限的且小于群的阶
Proof.
首先得到关于元素 $a$ 的循环：
不难发现，如果元素 $a$ 的阶数 $n$ 存在因子 $m$; 则 $1\to 2\to \dots\to n-1$ 这个大循环内部存在小循环 $1\to m\to \dots\to n-1$.
若还有剩余元素，以其中一个 $b$ 为起点得到 $b$ 的循环；
重复上述操作直到群内所有元素被穷尽
重排定理
不同的旁集必不相交
Proof.
即：存在元素相等 $\Rightarrow$ (左) 旁集相等；反之则是：不同的旁集必然没有元素相等，也就是 “不相交”。
拉格朗日定理
| 若 $H\subseteq G$，则 $ | G | =k | H | $. 其中 $k$ 为 $H$ 的不同旁集的个数，必为正整数。 |
Proof.
群 $G$ 中所有旁集并在一起必然包含 $G$，因此断言：群中的元素一定属于某个旁集.
由于集合 $H$ 和元素 $x$ 的乘法 (即：旁集 $xH$) 不改变 $H$ 的元素个数，因此断言：$ H = xH $. 再结合 “两个不同的旁集必然不相交” 有：
正规子群 $\iff$ 商集能够构成群
Proof.
由上述拉格朗日定理可知，$G$ 中的元素被分为 $H, xH, yH, \dots$ 而每个旁集又不互相交；因此只有 $H$ 含有恒等元 $e$，因此只有它能够构成群.
我们定义出商集 $\frac{G}{H} = {H, g_1H, g_2H,\dots,g_{k-1}H }$ 总共 $k$ 个元素。有个自然的问题，商集能否构成群？
首先证明 “正规子群 $\Leftarrow$ 商集能够构成群”
考虑商群的 “恒等元”。不难发现，有且只有 $H$ 满足恒等元的定义，即：$H^n=H$. 这是因为，只有 $H$ 是群；利用重排定理可得：$H\cdot H = H$.
基于此，要想商集构成群，需要恒等元 $H$ 满足交换律：$H\cdot g_i H = g_i \underbrace{H\cdot H}_{\text重排定理}=g_i H$.
也即是，商集构成群需要满足上式，进一步，则是需要 $Hg_i = g_i H$ 这个条件成立。而满足这个条件的子群 $H$ 被定义为正规子群。
然后证明 “正规子群 $\Rightarrow$ 商集能够构成群”，需要根据群的定义逐项验证。
恒等元：拿正规子群 $H$ 即可；
- 满足结合律：集合与集合的乘法满足结合律；
- 封闭性：$g_iH \cdot g_j H = g_i g_j H H = g_i g_j H$. 其中由于 $g_i, g_j\in G$，因此 $g_l := g_i\cdot g_j \in G$。所以此时 $g_l H$ 就是另一个旁集，因此封闭性满足。
- 逆元素：$gH$ 的逆元素为 $g^{-1}H$. 因此有：$g^{-1}HgH=g^{-1}gHH=H$. 即逆元素操作可得恒等元。
综上，正规子群 $\iff$ 商集能够构成群
理解：正规子群存在，表示群可以被 “降解拆分” 为 正规子群 和 商群 两个部分。
各种群
无限群：操作集合中元素个数无限
阿贝尔群：满足乘法交换律
循环群：仅用一个元素 $a$ 就能生成整个群
循环群 $\Rightarrow$ 阿贝尔群
Proof.
因为如果群 $G = \langle a \rangle$，那么任意两个元素都可以写成 $a^m$ 和 $a^n$。因此有：$a^m \cdot a^n = a^{m+n} = a^{n+m} = a^n \cdot a^m$。因为指数相加是可交换的，所以循环群的运算必然满足交换律，一定是阿贝尔群。
子群：
单群：不含正规子群的群，即：无法再被 “降解”。
有限单群分类定理: 有限单群有且仅有以下几种(所有有限群都可以由它们构造出来)
- 素数阶循环群
- 5次及以上交错群
- Lie型单群
- 26个散在单群